Question

7．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=$\frac{1}{2}$，点（n，2a_n+1-a_n）（n∈N₊）在直线y=x上，令b_n=a_n+1-a_n-1，
（1）证明：数列{a_n-n+2}是等比数列．
（2）求a_n，b_n，S_n．
（3）若S_n-2b_n＞3n-4对n＞k（k∈N₊）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过将点（n，2a_n+1-a_n）代入直线y=x，进而变形可知2（a_n+1-n-1+2）=a_n-n+2，从而可得结论；
（2）通过（1）可知a_n=n-2+$\frac{3}{{2}^{n}}$，利用分组求和法计算可知S_n=6+$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-$\frac{6}{{2}^{n}}$，代入计算可知b_n=1-$\frac{3}{{2}^{n+1}}$；
（3）通过代入、化简整理可知问题转化为n²-9n+8＞$\frac{6}{{2}^{n}}$对n＞k（k∈N₊）恒成立，通过分析不等式两端的单调性即得结论．

解答 （1）证明：∵点（n，2a_n+1-a_n）（n∈N₊）在直线y=x上，
∴2a_n+1-a_n=n，2a_n+1=a_n+n，
∴2（a_n+1-n-1+2）=a_n-n+2，
又∵a₁-1+2=$\frac{1}{2}$-1+2=$\frac{3}{2}$，
∴数列{a_n-n+2}是首项为$\frac{3}{2}$、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）解：由（1）可知a_n-n+2=$\frac{3}{{2}^{n}}$，即a_n=n-2+$\frac{3}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$-2n+3•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=6+$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-$\frac{6}{{2}^{n}}$，
b_n=a_n+1-a_n-1=（n+1）-2+$\frac{3}{{2}^{n+1}}$-（n-2+$\frac{3}{{2}^{n}}$）=1-$\frac{3}{{2}^{n+1}}$；
（3）解：∵S_n-2b_n＞3n-4对n＞k（k∈N₊）恒成立，
∴（6+$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-$\frac{6}{{2}^{n}}$）-2（1-$\frac{3}{{2}^{n+1}}$）＞3n-4对n＞k（k∈N₊）恒成立，
整理得：n²-9n+8＞$\frac{6}{{2}^{n}}$，
∵当n取不超过8的自然数时f（n）=n²-9n+8≤0，
当n≥9时f（n）随着n的增大而增大，且f（9）=8，
而g（n）=$\frac{6}{{2}^{n}}$随着n的增大而减小，且g（8）＞0、g（9）＜f（9），
∴k的最小值为8．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，涉及构造等比数列、数列的单调性等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．