Question

16．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax²-2bx-a+b，x∈[0，1]．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若-1≤f（x）≤1对任意的x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，再分类讨论：当b≤0时，f′（x）＞0在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a-b|﹢a；当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时最大值为：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a，由此可得结论；
（2）由（1）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．根据-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，可得|2a-b|﹢a≤1，从而利用线性规划知识，可求a+b的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=12a（x-$\frac{b}{6a}$）
当b≤0时，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a-b|﹢a；
当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，f'（x）在区间[0，1]先负后可能正，f（x）图象在[0，1]区间内是凹下去的，所以最大值正好取在区间的端点，此时最大值为：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a；
（2）由（1）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．
∵-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，
∴|2a-b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴，则可行域为：$\left\{\begin{array}{l}{b≥2a}\\{b-a≤1}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{b＜2a}\\{3a-b≤1}\end{array}\right.$，目标函数为z=a+b．
作图如右：
由图易得：a+b的取值范围为（-1，3]．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，综合性，难度大．