Question

17．函数f（x）=-x³+x²+tx+1在（-1，1）上是增函数，则t的取值范围是（　　）

• A． t＞5
• B． t＜5
• C． t≥5
• D． t≤5

Answer 1

分析 函数f（x）=-x³+x²+tx+1在（-1，1）上是增函数，所以会得到f′（x）在（-1，1）上应是f′（x）≥0，函数在端点处有定义，所以f′（-1）≥0，求得关于t的不等式，解不等式便能求出t的取值范围．

解答 解：f′（x）=-3x²+2x+t，
由题意知，要使函数f（x）=-x³+x²+tx+1在（-1，1）上是增函数，
f′（x）≥0恒成立，
∵f′（x）=-3x²+2x+t的图象是开口向下，
由函数图象可知，函数的对称轴为：x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{3}$，
∴当x=-1时取最小值，最小值为-5+t，
∴-5+t≥0，解得t≥5，
故选C．

点评 本题用到的一个知识点是：如果一个函数在一个开区间上是单调函数，并且函数在区间端点有定义，那么它在闭区间上也是单调函数，并且单调性和开区间上一致．