Question

12．下列四个命题：
①平面α∩β=l，a?α，b?β，若a，b为异面直线，则a，b中至少有一条与l相交．
②若a，b∈R，且a+b=3，则2^a+2^b的最小值为4$\sqrt{2}$．
③若x∈R，则“复数z=（1-x²）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”必要不充分条件．
④正项数列{a_n}，其前n项和为S_n，若S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），则 a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．（n∈N₊）．
其中真命题有①②④．（填真命题序号）

Answer 1

分析 ①根据面面相交和直线的关系进行判断，
②根据基本不等式的应用进行判断即可，
③根据复数的概念以及充分条件和必要条件的定义进行判断，
④利用归纳法进行证明即可．

解答 解：①平面α∩β=l，a?α，b?β，若a，b为异面直线，则a，b中至少有一条与l相交，正确，
若a，b都与l平行，则a∥b与若a，b为异面直线矛盾．故①正确，
②若a，b∈R，且a+b=3，则2^a+2^b≥2$\sqrt{{2}^{a}•{2}^{b}}$=2$\sqrt{{2}^{a+b}}$=2$\sqrt{{2}^{3}}$=4$\sqrt{2}$，则最小值为4$\sqrt{2}$正确，故②正确．
③若x∈R，则“复数z=（1-x²）+（1+x）i为纯虚数”，则$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}=0}\\{1+x≠0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=±1}\\{x≠-1}\end{array}\right.$，则x=1，此时lg|x|=0成立，即充分性成立，故③错误，
④下用数学归纳法证明：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
①n=1时，a₁=1，满足${a}_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$；
②假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即${a_k}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$，则当n=k+1时，有${a_{k+1}}={S_{k+1}}-{S_k}=\frac{1}{2}（{a_{k+1}}+\frac{1}{{{a_{k+1}}}}）-\frac{1}{2}（{a_k}+\frac{1}{a_k}）$
∴${a_{k+1}}-\frac{1}{{{a_{k+1}}}}=-{a_k}-\frac{1}{a_k}=-\sqrt{k}+\sqrt{k-1}-\sqrt{k}-\sqrt{k-1}=-2\sqrt{k}$
解方程得${a_{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$，即当n=k+1时，结论也成立
由①②可知，猜想成立，故④正确，
故答案为：①②④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．