Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n-2a_n-n=0（n∈N⁺），则数列{a_n-1}的通项公式为-2ⁿ．

Answer 1

分析 通过S_n-2a_n-n=0（n∈N⁺）与S_n-1-2a_n-1-n+1=0（n≥2）作差、变形可知a_n-1=2（a_n-1-1），进而计算即得结论．

解答 解：∵S_n-2a_n-n=0（n∈N⁺），
∴S_n-1-2a_n-1-n+1=0（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-1-1，
变形可得：a_n-1=2（a_n-1-1），
又∵a₁=2a₁+1，即a₁-1=-1-2=-2，
∴数列{a_n-1}是首项为-2、公比为2的等比数列，
∴数列{a_n-1}=-2•2^n-1=-2ⁿ，
故答案为：-2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项，构造数列是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．