Question

8．己知f（x）与g（x）的定义域相同，且恒有f（-x）+f（x）=0，g（-x）g（x）=1，又g（x）=1的解集为{0}
（1）判断函数F（x）=$\frac{2f（x）}{g（x）-1}$+f（x）的奇偶性；
（2）若xF（x）+3在[-3，0）∪（0，3]的最大值和最小值分别为M和m，求M+m的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
（2）构造函数，根据函数奇偶性和最值之间的关系建立方程进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∵g（x）=1的解集为{0}，∴g（0）=0，
当x≠0时，g（x）≠1，
则F（x）=$\frac{2f（x）}{g（x）-1}$+f（x）=f（x）（$\frac{2}{g（x）-1}+1$）=f（x）•$\frac{2+g（x）-1}{g（x）-1}$=f（x）•$\frac{g（x）+1}{g（x）-1}$，
由g（x）≠1，得x≠0，即函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则F（-x）=f（-x）•$\frac{g（-x）+1}{g（-x）-1}$=-f（x）•$\frac{g（-x）+g（x）g（-x）}{g（-x）-g（x）g（-x）}$=-f（x）•$\frac{1+g（x）}{1-g（x）}$=f（x）•$\frac{g（x）+1}{g（x）-1}$=F（x），
则函数F（x）=$\frac{2f（x）}{g（x）-1}$+f（x）为偶函数．
（2）设h（x）=xF（x）+3，则h（x）-3=xF（x）为减函数，
则 当h（x）=xF（x）+3在[-3，0）∪（0，3]取得最大值和最小值时，h（x）-3=xF（x）也取得最大值和最小值，
则[xF（x）]_max+[xF（x）]_min=0，
即M-3+N-3=0，即M+N=6

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的应用，利用函数奇偶性的定义结合函数最值和奇偶性的关系是解决本题的关键．