Question

16．容器中有纯酒精a（a＞1）升，现倒出1升后用水加满搅匀，并规定“倒出1升后用水加满搅匀”为一次操作，若第n次操作后容器中酒精浓度为a_n，则a_n+1用a_n表示为${a}_{n+1}={a}_{n}•\frac{a-1}{a}$；数列{a_n}通项公式是a_n=$（\frac{a-1}{a}）^{n}$．

Answer 1

分析 分别求出第1次、第2次…第n次操作之后的酒精浓度，找出a_n+1用a_n关系，并求出通项．

解答 解：有题意可知：第一次倒出的酒精味1升：$\frac{a-1}{a}$，
第二次倒出的酒精浓度为：$（\frac{a-1}{a}）^{2}$，
第三次倒出的酒精浓度为：$（\frac{a-1}{a}）^{3}$，
…
第n次倒出酒精浓度为：$（\frac{a-1}{a}）^{n}$，
${a}_{n+1}={a}_{n}•\frac{a-1}{a}$，
∴{a_n}的通项公式：a_n=$（\frac{a-1}{a}）^{n}$，
故答案为：${a}_{n+1}={a}_{n}•\frac{a-1}{a}$，a_n=$（\frac{a-1}{a}）^{n}$．

点评 本题考查等比数列模型与实际生活相结合，属于基础题．