Question

15．△ABC中，cosB=$\frac{11}{14}$，c=3，△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．
（1）求sinB；
（2）试求a边的长；
（3）求角A的弧度数．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，cosB=$\frac{11}{14}$，B为锐角，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．
（2）由于c=3，△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，可得$\frac{1}{2}×3a$sinB=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，解得a．
（3）b²=a²+c²-2accosB，解得b．再利用正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即可得出．

解答 解：（1）△ABC中，cosB=$\frac{11}{14}$，∴B为锐角，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
（2）∵c=3，△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，∴$\frac{1}{2}×3a$sinB=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，解得a=7．
（3）b²=a²+c²-2accosB=7²+3²-2×7×3×$\frac{11}{14}$=25，
解得b=5．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
解得sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{7×\frac{5\sqrt{3}}{14}}{5}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵a是最大边，∴A是钝角，
∴B=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．