Question

6．已知函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后与函数g（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象重合．已知△ABC中三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）求f（x）的最小正周期T和单调递增区间；
（2）若f（A）=$\frac{1}{2}$，tanC=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：f（x）=$g（x-\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$sin2x．再利用正弦函数的周期计算公式、单调性即可得出．
（2）f（A）=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sinA，解得A=$\frac{π}{2}$．由于tanC=$\sqrt{2}$=$\frac{c}{b}$，a²=b²+c²，c=$\sqrt{6}$，解出即可得出．

解答 解：（1）函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后与函数g（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象重合．
g（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）=$g（x-\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin[2（x-\frac{π}{4}）]$-$sin[2（x-\frac{π}{4}）-\frac{π}{6}]$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$sin（2x-\frac{2π}{3}）$=$\frac{1}{2}$sin2x．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得$kπ-\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的最小正周期T=π，
单调递增区间为：[$kπ-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}+kπ$]，k∈Z．
（2）f（A）=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sinA，∴sinA=1，A∈（0，π），解得A=$\frac{π}{2}$．
∵tanC=$\sqrt{2}$=$\frac{c}{b}$，a²=b²+c²，c=$\sqrt{6}$，
解得b=$\sqrt{3}$，a=3．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质及其变换、三角函数求值、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．