Question

14．已知数列{a_n}为等差数列，${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$=1，S_n为{a_n}的前n项和，则S₅的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{15}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{15}{2}$$\sqrt{2}$]
• B． [-5$\sqrt{5}$，5$\sqrt{5}$]
• C． [-10，10]
• D． [-5$\sqrt{3}$，5$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 设a₁=cosθ，a₂=sinθ，公差d=sinθ-cosθ，可得S₅=5$\sqrt{5}$sin（θ-φ），其中tanφ=$\frac{1}{2}$，由三角函数的知识可得．

解答 解：∵数列{a_n}为等差数列，${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$=1，
∴可设a₁=cosθ，a₂=sinθ，公差d=sinθ-cosθ，
则S₅=5cosθ+$\frac{5×4}{2}$（sinθ-cosθ）=10sinθ-5cosθ
=5$\sqrt{5}$sin（θ-φ），其中tanφ=$\frac{1}{2}$，
∴由三角函数可知S₅的取值范围是[-5$\sqrt{5}$，5$\sqrt{5}$]，
故选：B．

点评 本题考查等差数列的求和公式，三角换元并利用辅助角公式是解决问题的关键，属中档题．