Question

4．己知△ABC内一点P满足$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{AC}$，过点P的直线分别交边AB、AC于M、N两点，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=μ\overrightarrow{AC}$，则λ+μ的最小值为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 可画出图形，根据题意可知λ，μ＞0，从而可由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}=μ\overrightarrow{AC}$可得$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{λ}\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AC}=\frac{1}{μ}\overrightarrow{AN}$，从而便可得出$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2λ}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{8μ}\overrightarrow{AN}$，这样由M，P，N三点共线便可得出$\frac{1}{2λ}+\frac{1}{8μ}=1$，从而$λ+μ=（λ+μ）（\frac{1}{2λ}+\frac{1}{8μ}）$=$\frac{5}{8}+\frac{λ}{8μ}+\frac{μ}{2λ}$，而由基本不等式即可求出$\frac{λ}{8μ}+\frac{μ}{2λ}$的最小值，进而便可求出λ+μ的最小值．

解答 解：如图，
由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}=μ\overrightarrow{AC}$及题意得，λ＞0，μ＞0，且$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{λ}\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AC}=\frac{1}{μ}\overrightarrow{AN}$，带入$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{AC}$得：
$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2λ}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{8μ}\overrightarrow{AN}$；
又M，P，N三点共线；
∴$\frac{1}{2λ}+\frac{1}{8μ}=1$，且λ，μ＞0；
∴$λ+μ=（λ+μ）（\frac{1}{2λ}+\frac{1}{8μ}）$
=$\frac{1}{2}+\frac{λ}{8μ}+\frac{μ}{2λ}+\frac{1}{8}$
$≥\frac{5}{8}+2\sqrt{\frac{λ}{8μ}•\frac{μ}{2λ}}$
=$\frac{5}{8}+\frac{1}{2}$=$\frac{9}{8}$，当且仅当$\frac{λ}{8μ}=\frac{μ}{2λ}$，即λ=2μ=$\frac{3}{4}$时取“=”；
∴λ+μ的最小值为$\frac{9}{8}$．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 考查向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，A，B，C三点共线的充要条件：$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1，以及基本不等式在求最值中的应用，在应用基本不等式时，注意判断等号能否取到．