Question

15．设a＞0，a≠1，f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$）．
（I）当f（x）的定义域为（-1，1）时，解不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0；
（2）若f（x）-4恰在（-∞，2）上取负值，求a的值；
（3）比较$\frac{f（2）}{2}$与$\frac{f（1）}{1}$，$\frac{f（3）}{3}$与$\frac{f（2）}{2}$的大小，并由此归纳出一个更一般的结论，并证明．

Answer 1

分析 （I）根据函数定义判断，结合分类讨论求解．
（II）利用题意得出$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2）-4=0，求解即可．
（III）构造函数设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，$\frac{f（1）}{1}$=1，$\frac{f（3）}{3}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}+1}{3}$，$\frac{f（2）}{2}$=$\frac{a+{a}^{-1}}{2}$，利用基本不等式，导数求解判断即可．

解答 解：（I）∵设a＞0，a≠1，f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$）．
∴t=log_ax，x=a^t，
设a＞0，a≠1，f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^t-a^-t）．
f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）．
f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数，
∵a＞1，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，根据解析式判断f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）为增函数．
0＜a＜1，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，根据解析式判断f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）为增函数．
∵不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0；
∴不等式f（1-x²）＜f（x-1）；
$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}＜x-1}\\{1-{x}^{2}＞-1}\\{x-1＜1}\end{array}\right.$
求解得出-$\sqrt{2}$＜x＜-1，
∴解集为：（-$\sqrt{2}$，-1）
（II））∵y=f（x）-4恰在（-∞，2）上取负值
∴f（2）-4=0，
即$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2）-4=0，且0＜a，a≠1，
求解得出：a=$2±\sqrt{3}$，
（III）设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，$\frac{f（1）}{1}$=1，$\frac{f（3）}{3}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}+1}{3}$，$\frac{f（2）}{2}$=$\frac{a+{a}^{-1}}{2}$，
根据基本不等式得出：$\frac{f（1）}{1}$＜$\frac{f（2）}{2}$，$\frac{f（2）}{2}$＜$\frac{f（3）}{3}$，
∴可以猜想得出：$\frac{f（x+1）}{x+1}$＞$\frac{f（x）}{x}$，
证明：g′（x）=$\frac{x（{a}^{x}-{a}^{-x}）•lna-（{a}^{x}-{a}^{-x}）}{{a}^{2}-1}$，
h（x）=$\frac{x（{a}^{x}-{a}^{-x}）•lna-（{a}^{x}-{a}^{-x}）}{{a}^{2}-1}$，
h′（x）=$\frac{x（{a}^{x}-{a}^{-x}）•l{n}^{2}a}{{a}^{2}-1}$＞0，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴g′（x）＞0，
g（x）为增函数，
∴$\frac{f（x+1）}{x+1}$＞$\frac{f（x）}{x}$，

点评 本题考查比较大小、归纳推理、函数单调性的证明及应用，综合性强，难度较大．