Question

7．设函数f（x）=|2x-3|+|x-5|．
（1）求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）x≤$\frac{3}{2}$时，f（x）=-2x+3-x+5=-3x+8≥4，x≤$\frac{4}{3}$，
$\frac{3}{2}$＜x＜5时，f（x）=2x-3-x+5=x+2≥4，解得：2≤x＜5，
x≥5时，f（x）=2x-3+x-5=3x-8≥4，解得：x≥5，
综上，不等式的解集是{x|x≥2或x≤$\frac{4}{3}$}；
（2）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+8，x≤\frac{3}{2}}\\{x+2，\frac{3}{2}＜x＜5}\\{3x-8，x≥5}\end{array}\right.$，
∴f（x）_min=$\frac{7}{2}$，
若f（x）＜a的解集不是空集，
只需a＞$\frac{7}{2}$即可．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论，是一道中档题．