Question

2．已知函数f（x）=x（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用分母不等于0，即可求f（x）的定义域；
（2）利用函数奇偶性的定义，讨论f（x）的奇偶性；
（3）证明x＞0时，f（x）=x（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）＞0，结合f（x）是偶函数，可得结论．

解答 解：（1）由3^x-1≠0，可得x≠0，
∴f（x）的定义域是{x|x≠0}；
（2）f（x）=x•$\frac{{3}^{x}+1}{{3}^{x}-1}$，
∴f（-x）=-x•$\frac{{3}^{-x}+1}{{3}^{-x}-1}$=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（3）证明：x＞0时，3^x-1＞0，
∴f（x）=x（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）＞0，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x）＞0．

点评 本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．