Question

10．已知等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1，数列{b_n}满足对任意正整数n，都有$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1恒成立．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）通过$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1与$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=2n-1作差，进而验证当n=1是否成立即可；
（2）利用等比数列的求和公式可知当n≥2时数列{b_n}的前n项和T_n，进而代入计算即得结论．

解答 解：（1）∵$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1，
∴当n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=2n-1，
两式相减得：$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2，
∵a_n=3^n-1，
∴b_n=2•3^n-1（n≥2），
又∵$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{{b}_{1}}{1}$=3，即b₁=3不满足上式，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{2•{3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）记数列{b_n}的前n项和为T_n，则
T_n=3+2•3¹+2•3²+…+2•3^n-1
=3+2•$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$
=3ⁿ，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₅=3²⁰¹⁵．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．