Question

1．设ω为正实数，若存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得cosωa+cosωb=2，则ω的取值范围是{2}∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 运用三角函数的有界性，结合三角函数的周期性，分析得到答案．

解答 解：要cosωa+cosωb=2，则有cosωa=cosωb=1；
余弦函数y=cosx图象如下：

可知，当x=2kπ时，cosx=1，
∵cosωa+cosωb=2，π≤a＜b≤2π
∴必有ωa=2kπ，ωb=2kπ+nπ，（k，n∈N₊），
∴$\left\{\begin{array}{l}{ωπ≤2kπ}\\{ω•2π≥2kπ+2π}\end{array}\right.，k∈{N}_{+}$
得到k+1≤ω≤2k（k∈N₊），
①k=1时，ω=2，
②k=2时，3≤ω≤4，
③k=3时，4≤ω≤6，
④k=4时，5≤ω≤8，
…
可得ω的取值范围为{2}∪[3，+∞）．

点评 本题考查三角函数的值域，涉及不等式的性质和分类讨论的思想，属中档题．