Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-1．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=3ⁿ-1，直接代入计算即可；
（2）通过S_n=3ⁿ-1与S_n-1=3^n-1-1作差，整理即得结论；
（3）通过（2）可知na_n=2n•3^n-1，进而利用错位相减法计算计算即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=3ⁿ-1，
∴a₁=3-1=2，
a₂=S₂-S₁=8-2=6，
a₃=S₃-S₂=26-8=18；
（2）∵S_n=3ⁿ-1，
∴当n≥2时，S_n-1=3^n-1-1，
两式相减得：a_n=2•3^n-1，
又∵a₁=2满足上式，
∴a_n=2•3^n-1；
（3）由（2）可知na_n=2n•3^n-1，
∴T_n=2•3⁰+4•3+6•3²+…+2n•3^n-1，
3T_n=2•3+4•3²+…+2（n-1）•3^n-1+2n•3ⁿ，
两式相减得：-2T_n=2+2•3+2•3²+…+2•3^n-1-2n•3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ-（1+3+3²+…+3^n-1）
=n•3ⁿ-$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{2n-1}{2}$•3ⁿ．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．