Question

18．已知函数f（x）=lnx十$\frac{2a}{x+1}$（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在极大值，试求a的取值范围；
（Ⅱ）当a为何值时，对任意的x＞0，且x≠1，均有$\frac{lnx}{x-1}-\frac{a}{x+1}$＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数f（x）的定义域，求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-2ax}{x（x+1）^{2}}$，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{2-2a＜0}\\{△=（2-2a）^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，从而解得；
（Ⅱ）由题意可得a＜$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$恒成立，令g（x）=$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，从而化为函数的最小值问题，从而求得．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-2ax}{x（x+1）^{2}}$，
故x²+（2-2a）x+1=0在（0，+∞）上有两个不同的解，
故$\left\{\begin{array}{l}{2-2a＜0}\\{△=（2-2a）^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，
解得，a＞2；
故a的取值范围为（2，+∞）；
（Ⅱ）∵$\frac{lnx}{x-1}-\frac{a}{x+1}$＞0，
∴a＜$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，g′（x）=$\frac{-2lnx+\frac{{x}^{2}-1}{x}}{（x-1）^{2}}$，
令F（x）=-2lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$=-2lnx+x-$\frac{1}{x}$，
F′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-2•$\frac{1}{x}$+1=（$\frac{1}{x}$-1）²≥0，
故F（x）在（0，+∞）上是增函数；
而F（1）=0，
故当x∈（0，1）时，F（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，F（x）＞0，
故当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
且$\underset{lim}{x→1}$$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$=2$\underset{lim}{x→1}$$\frac{lnx}{x-1}$=2$\underset{lim}{x→1}$$\frac{1}{x}$=2，
故a≤2．

点评 本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，同时考查了构造法及极限的求法．