Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=-2，且a_n+1=a_n+a_n+2，n∈N^*，则a₅=2；数列{a_n}的前2016项和为0．

Answer 1

分析 由a_n+1=a_n+a_n+2，a_n+2=a_n+1-a_n（n≥2），a₁=1，a₂=-2，可得：a₃=a₂-a₁=-3，同理可得：a₄，a₅，a₆，a₇，a₈．可得a_n+6=a_n．即可得出答案．

解答 解：∵a_n+1=a_n+a_n+2，
∴a_n+2=a_n+1-a_n，
∵a₁=1，a₂=-2，
∴a₃=a₂-a₁=-3，
a₄=a₃-a₂=-3+2=-1，
a₅=a₄-a₃=-1+3=2，
a₆=a₅-a₄=2+1=3，
a₇=a₆-a₅=3-2=1，
a₈=a₇-a₆=1-3=-2，
∴a_n+6=a_n．
则S₂₀₁₆=336（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）=336×（1-2-3-1+2+3）=0，
故答案为：2，0．

点评 本题考查了递推关系、数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．