Question

12．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，tanα=$\frac{4}{3}$，tan（α-β）=-$\frac{1}{3}$，则tanβ=3；$\frac{cos2β•sinβ}{\sqrt{2}cos（β+\frac{π}{4}）}$=$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 先根据两角差的正切公式求出tanβ，再根据而倍角公式求出sin2β，cos2β，根据倍角公式化简，并代值计算即可．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，tanα=$\frac{4}{3}$，tan（α-β）=-$\frac{1}{3}$，
∴tanβ=tan[α-（α-β）]=$\frac{tanα-tan（α-β）}{1+tanαtan（α+β）}$=$\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{3}}{1-\frac{4}{3}×\frac{1}{3}}$=3
∴sin2β=$\frac{2tanβ}{1+ta{n}^{2}β}$=$\frac{2×3}{1+{3}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos2β=$\frac{1-ta{n}^{2}β}{1+ta{n}^{2}β}$=$\frac{1-{3}^{2}}{1+{3}^{2}}$=-$\frac{4}{5}$
∴$\frac{cos2β•sinβ}{\sqrt{2}cos（β+\frac{π}{4}）}$=$\frac{（co{s}^{2}β-si{n}^{2}β）•sinβ}{cosβ-sinβ}$=sinβ（cosβ+sinβ）=sinβcosβ+sin²β=$\frac{1}{2}$sin2β+$\frac{1}{2}$（1-cos2β）=$\frac{1}{2}$（sin2β+cos2β）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{6}{5}$，
故答案为：3，$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了两角和的余弦公式和两角差的正切公式，以及二倍角公式，属于中档题题．