Question

20．若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan$\frac{α}{2}$等于（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据二倍角公式和sinα+2cosα=2，利用换元法即可求出答案．

解答 解：∵α∈（0，π），
∴$\frac{α}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
设tan$\frac{α}{2}$=x，x＞0，
∵sinα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，cosα=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∴sinα+2cosα=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$+2•$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2x+2-2{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=2，
即x+1-x²=1+x²，
即x（2x-1）=0，
解得x=$\frac{1}{2}$
故选：C．

点评 本题考查了倍角公式和方程的解法，换元是关键，属于中档题．