Question

5．若函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，且当x₁，x₂∈（-$\frac{17π}{12}$，-$\frac{2π}{3}$），x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 由正弦函数的对称性可得sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=±1，结合范围|φ|＜$\frac{π}{12}$，即可解得φ的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x₁+x₂=-$\frac{11π}{6}$代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．

解答 解：∵sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=±1，
∴φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
当x∈（-$\frac{17π}{12}$，-$\frac{2π}{3}$），2x+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{5π}{2}$，-π），区间内有唯一对称轴x=-$\frac{11π}{12}$，
∵x₁，x₂∈（-$\frac{17π}{12}$，-$\frac{2π}{3}$），x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），
∴x₁，x₂关于x=-$\frac{11π}{12}$对称，即x₁+x₂=-$\frac{11}{6}$π，
∴f（x₁+x₂）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了函数单调性的综合运用，正弦函数的性质，函数的对称性的应用，属于中档题．