Question

16．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=4a_n-a_n+1（n∈N^*），若a₁=1，则a_n=（n+1）•2^n-2．

Answer 1

分析 先由S_n=4a_n-a_n+1（n∈N^*），得到S_n-1=4a_n-1-a_n，即可得到数列{a_n+1-2a_n}是以1为首项，以2为等比的等比数列，再由a_n+1-2a_n=2^n-1=$\frac{1}{4}$×2ⁿ⁺¹，得到{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{4}$为公差的等差数列．

解答 解：∵S_n=4a_n-a_n+1（n∈N^*），
∴S_n-1=4a_n-1-a_n，
∴a_n=5a_n-a_n+1-4a_n-1，
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
∵S₁=4a₁-a₂，a₁=1，
∴a₂=3a₁=3，
∴a₂-2a₁=3-2=1，
∴数列{a_n+1-2a_n}是以1为首项，以2为等比的等比数列，
∴a_n+1-2a_n=2^n-1=$\frac{1}{4}$×2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{4}$为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$（n-1）=$\frac{1}{4}$（n+1）
∴a_n=2ⁿ•$\frac{1}{4}$（n+1）=（n+1）•2^n-2，
故答案为：（n+1）•2^n-2．

点评 本题考查了数列的递推公式，关键是求出数列{a_n+1-2a_n}是以1为首项，以2为等比的等比数列和{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{4}$为公差的等差数列，属于中档题．