Question

4．若曲线ρ²-2aρcosθ-2aρsinθ+2a²-4=0上有且仅有两个点到原点的距离为2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可把极坐标化为直角坐标方程：（x-a）²+（y-a）²=4．以原点为圆心，2为半径的圆的方程为：x²+y²=4．由于已知曲线上有且仅有两个点到原点的距离为2，可得：上述两个圆相交，即可得出．

解答 解：曲线ρ²-2aρcosθ-2aρsinθ+2a²-4=0，化为：x²+y²-2ax-2ay+2a²-4=0，配方为：（x-a）²+（y-a）²=4，
以原点为圆心，2为半径的圆的方程为：x²+y²=4．
∵已知曲线上有且仅有两个点到原点的距离为2，
∴上述两个圆相交，
∴2-2＜$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$＜2+2，
解得-2＜a＜2，且a≠0．
∴实数a的取值范围是-2＜a＜2，且a≠0．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、圆的位置关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．