Question

14．已知首项都是1的两个数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0．n∈N^*）满足a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0．令c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求证数列{c_n}是等差数列，并求{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析 首项都是1的两个数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0．n∈N^*）满足a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0.$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$$-\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$+2=0，又c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，可得c_n+1-c_n=2，即可证明．

解答 证明：∵首项都是1的两个数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0．n∈N^*）满足a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0．
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$$-\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$+2=0，又c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，
∴c_n+1-c_n=2，c₁=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=1．
∴数列{c_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴c_n=1+2（n-1）=2n-1．

点评 本题考查了等差数列定义及其通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．