Question

3．已知（x+2）⁷=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷．
（1）求a₅；
（2）求（x+2）⁷展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）根据（x+2）⁷=[3+（x-1）]⁷=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷，利用通项公式求得a₅ 的值．
（2）设第r+1项的系数最大，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{7}^{r}{{•3}^{7-r}≥C}_{7}^{r-1}{•3}^{8-r}}\\{{C}_{7}^{r}{{•3}^{7-r}≥C}_{7}^{r+1}{•3}^{6-r}}\end{array}\right.$，求得r的范围，再利用通项公式求得展开式中系数最大的项．

解答 解：（1）∵已知（x+2）⁷=[3+（x-1）]⁷=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷，
∴a₅ =${C}_{7}^{5}$•3²=189．
（2）设第r+1项的系数最大，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{7}^{r}{{•3}^{7-r}≥C}_{7}^{r-1}{•3}^{8-r}}\\{{C}_{7}^{r}{{•3}^{7-r}≥C}_{7}^{r+1}{•3}^{6-r}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{r≤2}\\{r≥1}\end{array}\right.$，
可得（x+2）⁷展开式中系数最大的项为T₂=${C}_{7}^{1}$•3⁶ （x-1），T₃=${C}_{7}^{2}$•3⁵（x-1）²．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属中档题．