Question

18．已知正项数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足b_n=a_2n-1，c_n=a_2n，n∈N*，数列{b_n}的前n项和为S_n，（b_n+1）²=4S_n，数列{c_n}的前n项和T_n=3ⁿ-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和A_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别根据递推公式求出{b_n}，{c_n}的通项公式，再根据b_n=a_2n-1，c_n=a_2n，n∈N*，即可求出数列{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）分n为奇数和n为偶数，根据等差数列的求和公式和等比数列的求和公式即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）：∵（b_n+1）²=4S_n，$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{2×{3}^{\frac{n}{2}-1}，n为偶数}\end{array}\right.$
∴（b_n-1+1）²=4S_n-1，
∴b_n²+2b_n-b_n-1²-2b_n-1=4b_n，
∴（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1-2）=0，
∴b_n-b_n-1=2，
∵（b₁+1）²=4S₁，
∴b₁=1，
∴数列{b_n}是以1为首项，以2为公
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1，
∵列{c_n}的前n项和T_n=3ⁿ-1，
∴T_n-1=3^n-1-1，
∴c_n=3ⁿ-1-3^n-1+1=2×3^n-1，
当n=1时，T₁=c₁=3¹-1=2，c₁=2×3^1-1=2，
∴c_n=2×3^n-1，
∵b_n=a_2n-1，c_n=a_2n，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{2×{3}^{\frac{n}{2}-1}，n为偶数}\end{array}\right.$，n∈N*，
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和A_n．
当n为奇数时，
∴A_n=1+2+3+6+…+$2×{3}^{\frac{n-1}{2}-1}$+n=（1+3+5+…+n）+（2+6+…+$2×{3}^{\frac{n-1}{2}-1}$）=$\frac{\frac{n+1}{2}（1+n）}{2}$+$\frac{2（1-{3}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-3}$=$\frac{1}{4}$（n+1）²+${3}^{\frac{n-1}{2}}-1$；
当n为偶数时，
∴A_n=1+2+3+6+…+（n-1）+2×${3}^{\frac{n}{2}-1}$=（1+3+5+…+n-1）+（2+6+…+2×${3}^{\frac{n}{2}-1}$）=$\frac{n（1+n-1）}{4}$+$\frac{2（1-{3}^{\frac{n}{2}}）}{1-3}$=$\frac{1}{4}$n²+${3}^{\frac{n}{2}}$-1；
∴A_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（n+1）^{2}+{3}^{\frac{n-1}{2}}-1，n为奇数}\\{\frac{1}{4}{n}^{2}+{3}^{\frac{n}{2}}-1，n为偶数}\end{array}\right.$

点评 本题考查了数列的递推公式和通项公式的求法，以及前n项和的公式，关键是分类讨论，属于中档题．