Question

12．已知a＞0，b＞0，若三点A（a，0），B（0，b），C（2，1）共线，则a+2b的最小值是8．

Answer 1

分析 由三点共线可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，整体代入可得a+2b=（a+2b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=4+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$，由基本不等式可得．

解答 解：三点A（a，0），B（0，b），C（2，1）共线，
∴$\frac{1-0}{2-a}$=$\frac{1-b}{2-0}$，整理可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
又a＞0，b＞0，∴a+2b=（a+2b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）
=4+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$=8，
当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=4且b=2是取等号，
故答案为：8．

点评 本题考查三点共线和基本不等式求最值，属基础题．