Question

8．根据a的不同取值，求f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+ax+1}$（a∈R）的值域．

Answer 1

分析 令t=x²+ax+1=（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，分类讨论结合反比例函数的值域可得．

解答 解：令t=x²+ax+1=（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当1-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞0即-2＜a＜2时，t≥1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，此时函数的值域为（0，$\frac{4}{4-{a}^{2}}$]；
当1-$\frac{{a}^{2}}{4}$≤0即a≤-2或a≥2时，t≥1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，此时函数的值域为（-∞，$\frac{4}{4-{a}^{2}}$]∪（0，+∞）．

点评 本题考查分式函数的值域，换元整体利用反比例函数的值域是解决问题的关键，属基础题．