Question

13．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）（0＜φ＜π，ω＞0））为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（$\frac{π}{8}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据相邻对称轴之间的距离为周期的一半得出函数的周期；
（2）利用周期公式求出ω，根据函数的奇偶性和诱导公式得出φ，从而解出f（x）的解析式，再计算f（$\frac{π}{8}$）．

解答 解：（1）∵f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π．
（2）∵f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∵f（x）是偶函数，∴φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，解得φ=$\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z．
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{2π}{3}$．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
∴f（$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．