Question

6．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若$\overrightarrow{BD}$=x$\overrightarrow{SA}+y\overrightarrow{SB}+z\overrightarrow{SC}$，则x+y+z=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 可画出图形，由向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可得出$\overrightarrow{BD}=0\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$，这样根据空间向量基本定理即可得出$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\\{z=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，从而便可求出x+y+z的值．

解答 解：如图，根据条件：

$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BS}）$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SB}）$
=$-\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$
=$0\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$；
又$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{SA}+y\overrightarrow{SB}+z\overrightarrow{SC}$；
∴由空间向量基本定理得$x+y+z=0-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，相反向量的概念，以及向量的数乘运算，空间向量基本定理．