Question

18．棱长为1的正四面体ABCD中，E为棱AB上一点（不含A，B两点），点E到平面ACD和平面BCD的距离分别为a，b，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 设点O是正三角形ACD的中心，连接OB，作EF⊥AO，垂足为点F．AO交CD于点M，则点M为CD的中点．设AE=λAB（0＜λ＜1）．$AO=\frac{2}{3}$AM，AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$．由EF∥BO，可得EF=λBO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$λ=a．同理可得：b=EN=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（1-λ）．代入利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，
设点O是正三角形ACD的中心，连接OB，作EF⊥AO，垂足为点F．AO交CD于点M，则点M为CD的中点．
设AE=λAB（0＜λ＜1）．
$AO=\frac{2}{3}$AM=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵EF∥BO，
∴EF=λBO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$λ=a．
同理可得：b=EN=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（1-λ）．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{3}{\sqrt{6}}$$（\frac{1}{λ}+\frac{1}{1-λ}）$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{1}{λ（1-λ）}$≥$\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{1}{（\frac{λ+1-λ}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，当且仅当$λ=\frac{1}{2}$时取等号．
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正四面体的性质、等边三角形的性质、平行线的性质定理、勾股定理、基本不等式的性质，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．