Question

8．如图，在三棱台DEF-ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：平面ABED∥平面GHF；
（2）若BC=CF=$\frac{1}{2}$AB=1，求棱锥F-ABHG的体积．

Answer 1

分析 （1）根据面面平行的判定定理即可证明平面ABED∥平面GHF；
（2）利用S_梯形ABHG=S_△ABC-S_△GHC，求出S_梯形ABHG，利用体积公式，即可求棱锥F-ABHG的体积．

解答 （1）证明：∵在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，
∴BC=2EF，AC=2DF，
∵G，H分别为AC，BC的中点，
∴GH∥AB，EF∥BH，EF=BH，
∴四边形BJFE是平行四边形，
∴BE∥FH，
∴GH∥平面ABED，FH∥平面ABED，
∵GH∩FH=H，
∴平面ABED∥平面GHF；
（2）解：设棱锥F-ABHG的体积为V，
∵BC=CF=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴S_梯形ABHG=S_△ABC-S_△GHC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{8}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及棱锥F-ABHG的体积的求解，正确运用平面与平面平行的判定定理是关键．