Question

17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的极坐标方程为ρ=4，经过点P（1，2）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出圆C的标准方程和直线l的普通方程；
（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用ρ²=x²+y²=4可得⊙C的标准方程4，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去t可得直线l的普通方程．
（2）直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入⊙C的方程可得：t²+（2+$\sqrt{3}$）t+1=0，利用根与系数的关系及其参数的意义可得$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=-$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$．

解答 解：（1）由ρ=4可得⊙C的标准方程：x²+y²=4，
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去t可得：直线l的普通方程：$x-\sqrt{3}y$+2$\sqrt{3}$-1=0．
（2）直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入⊙C的方程可得：t²+（2+$\sqrt{3}$）t+1=0，
∴t₁+t₂=-（2+$\sqrt{3}$），t₁t₂=1．
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=-$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$2+\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、直线参数方程的应用，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．