Question

6．已知函数f（x）=x²+ax+1．
（1）解不等式f（x）＞0．
（2）若f（x）在x∈[-3，1）上恒有f（x）≥-3成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出判别式，讨论等于0，大于0，小于0，即可得到所求解集；
（2）讨论当x=0时，显然成立；当0＜x≤1时，可得-a≤x+$\frac{4}{x}$，运用单调性，求出右边的最小值；当-3≤x＜0时，可得-a≥x+$\frac{4}{x}$，运用基本不等式可得右边函数的最大值，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）x²+ax+1＞0，
△=a²-4，
当△=0，即a=±2时，可得x≠±1；
当△＜0，即-2＜a＜2时，可得x∈R；
当△＞0，即a＞2或a＜-2时，可得x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$或x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$．
综上可得，当a=±2时，解集为{x|x≠±1，x∈R}；
-2＜a＜2时，解集为R；
a＞2或a＜-2时，解集为{x|x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$或x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$}；
（2）x∈[-3，1）上恒有f（x）≥-3成立，
即为x²+ax+4≥0，当x=0时，显然成立；
当0＜x≤1时，可得-a≤x+$\frac{4}{x}$，
由x+$\frac{4}{x}$的导数1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜0，即有（0，1]为递减区间，
可得x=1时，取得最小值5，可得-a≤5，
即有a≥-5；
当-3≤x＜0时，可得-a≥x+$\frac{4}{x}$，
由x+$\frac{4}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-4，
可得x=-2∈[-3，0）时，取得最大值-4，可得-a≥-4，
即有a≤4．
综上可得a的范围是[-5，4]．

点评 本题考查不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．