Question

14．求函数f（x）=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$（0＜x＜1）的最小值．

Answer 1

分析 通分得到$f（x）=\frac{1}{（1-{x}^{2}）{x}^{2}}$，而由0＜x＜1即得出1-x²＞0，x²＞0，从而由基本不等式便可得出（1-x²）x²的范围，进而便可得出f（x）的范围，从而得出f（x）的最小值．

解答 解：$f（x）=\frac{1}{1-{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{（1-{x}^{2}）{x}^{2}}$；
∵0＜x＜1；
∴1-x²＞0；
∴$（1-{x}^{2}）{x}^{2}≤（\frac{1-{x}^{2}+{x}^{2}}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$，当且仅当1-x²=x²，即$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取“=”；
∴$\frac{1}{（1-{x}^{2}）{x}^{2}}≥4$；
∴f（x）的最小值为4．

点评 考查函数最值的定义及求法，以及基本不等式的应用，注意应用基本不等式所具备的条件，以及判断等号能否取到，以及不等式的性质．