Question

11．已知函数f（x）=e^x+6x，g（x）=$\frac{a}{x-3}$+6．
（Ⅰ）若x＞3时f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a＜（x-3）（e^x+6x-6），设h（x）=（x-3）（e^x+6x-6），求出导数，判断单调性，可得a的范围；
（Ⅱ）求得F（x）=e^x+6x-（$\frac{a}{x-3}$+6），由F（x）=0，可得a=（x-3）（e^x+6x-6），由h（x）=（x-3）（e^x+6x-6），求得导数，单调区间和最值，讨论a的范围，即可得到零点个数．

解答 解：（Ⅰ）若x＞3时f（x）＞g（x）恒成立，
即为e^x+6x＞$\frac{a}{x-3}$+6，即有a＜（x-3）（e^x+6x-6），
设h（x）=（x-3）（e^x+6x-6），
h′（x）=e^x+6x-6+（x-3）（e^x+6）
=（x-2）（e^x+12），
当x＞3时，可得h′（x）＞0，h（x）递增，
即有h（x）＞h（3）=0，
由恒成立思想可得a≤0；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=e^x+6x-（$\frac{a}{x-3}$+6），
由F（x）=0，可得a=（x-3）（e^x+6x-6），
由h（x）=（x-3）（e^x+6x-6），
h′（x）=e^x+6x-6+（x-3）（e^x+6）
=（x-2）（e^x+12），
当x＞2时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当x＜2时，h′（x）＜0，h（x）递减．
可得x=2处取得极小值，也为最小值-（e²+6），
即有当a=-（e²+6），函数y=a和y=h（x）的图象有一个交点，即零点个数为1；
当a＞-（e²+6），函数y=a和y=h（x）的图象有两个交点，即零点个数为2；
当a＜-（e²+6），函数y=a和y=h（x）的图象没有交点，即零点个数为0．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性求得最值，考查函数的零点的问题的解法，注意运用构造函数，运用导数判断单调性，求得最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．