Question

16．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）．
（I）若f（x+θ）是最小正周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；
（Ⅱ）若[-$\frac{5π}{3}$，$\frac{π}{3}$]是f（x）的一个递增区间，求ω的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若g（x）=f（-π-4x），求函数g（x）的单调增区间和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件求得f（x+θ）的解析式，再利用正弦函数周期性和奇偶性，求得ω及θ值；
（Ⅱ）根据函数的单调区间求出ω的值即可；
（Ⅲ）求出g（x）的表达式，根据三角函数的性质求出g（x）的单调区间和最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）由于f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），
可得f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin[3ω（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），
再根据f（x+θ）是周期为2π的偶函数，可得 $\frac{2π}{3ω}$=2π，3ωθ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
求得ω=$\frac{1}{3}$，θ=kπ+$\frac{π}{6}$，f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3ωx+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
得：$\frac{2kπ}{3ω}$-$\frac{5π}{18ω}$≤x≤$\frac{2kπ}{3ω}$+$\frac{π}{18ω}$，
而-$\frac{5π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$，
故ω=$\frac{1}{6}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=f（-π-4x）=2$\sqrt{3}$sin[$\frac{1}{2}$（-π-4x）+$\frac{π}{3}$]=-2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
故g（x）在[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]递增，最大值是2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数问题，考查函数的单调性和最值问题，是一道中档题．