Question

6．已知A（0，0），B（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{π}{4}$，1），D（$\frac{π}{2}$，0），函数f（x）=sin（ωx）的图象经过且仅经过上面四个点中的三个，则正整数ω的最小值为4．

Answer 1

分析 根据f（0）=0的f（x）必过A点，且必过C，D中的一点，分f（x）过A，C和f（x）过A，D两种情况讨论f（x）的周期，解出f（x）的解析式进行检验余下两点的情况得出答案．

解答 解：由f（0）=sin0=0可知f（x）的图象一点过A点．设f（x）的周期为T，
（1）若f（x）经过A，C点，由于A，D关于C对称，则f（x）必过D点．
则$\frac{π}{4}$=$\frac{T}{4}+kT$，即$\frac{π}{4}=（\frac{1}{4}+k）×\frac{2π}{ω}$．解得ω=8k+2．
此时，f（x）=sin（（8k+2）x）．
∴f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{（8k+2）π}{6}$，
当k=0时，f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不符合题意．
当k=1时，f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{5π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．此时ω=10．
（2）若f（x）经过A，D点，则$\frac{π}{2}$=$\frac{kT}{2}$，即$\frac{π}{2}$=$\frac{2kπ}{2ω}$，∴ω=2k．
∴f（x）=sin2kx．
∴f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{kπ}{3}$，f（$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{kπ}{2}$．
当k=1时，f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{2}$=1．不符合题意．
当k=2时，f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=sinπ=0．符合题意，此时ω=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，分情况讨论思想，属于中档题．