Question

19．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$（n≥2），则a₃=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 通过对a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$（n≥2）两边同时取倒数，进而构造首项、公差均为1的等差数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}，代入计算即得结论．

解答 解：∵a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项、公差均为1的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，a_n=$\frac{1}{n}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．