Question

8．“a≥-3”是“xe^x+x²+ax+1＞0在（0，+∞）恒成立”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 x∈（0，+∞），xe^x+x²+ax+1＞0化为：-a＜$（{e}^{x}+x+\frac{1}{x}）$．令f（x）=e^x+x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞），利用几何画板可得图象：即可判断出结论．

解答 解：∵x∈（0，+∞），
∴xe^x+x²+ax+1＞0化为：-a＜$（{e}^{x}+x+\frac{1}{x}）$．
令f（x）=e^x+x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞），
利用几何画板可得图象：
由图象可得：f（x）_min＞4，
∴-a＜4，
∴a＞-4．
∴a≥-3是xe^x+x²+ax+1＞0在（0，+∞）上的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了几何画板的应用、恒成立问题的等价转化方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．