Question

17．解关于x的不等式：ax²-（a+1）x+1＞0．

Answer 1

分析 将原不等式化为（x-1）（ax-1）＞0，再对参数a的取值范围进行讨论，从而求出不等式的解集．

解答 解：原不等式可化为（x-1）（ax-1）≥0，
当a＞0时，不等式可化为（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）≥0，
该不等式对应方程的两个实数根为1和$\frac{1}{a}$；
若a＞1，则1＞$\frac{1}{a}$，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}；
若a=1，则1=$\frac{1}{a}$，不等式化为（x-1）²＞0，解集为{x|x≠0}；
若0＜a＜1，则1＜$\frac{1}{a}$，不等式的解集为{x|x＜1或x＞$\frac{1}{a}$}；
当a=0时，不等式化为-x+1＞0，解集为{x|x＜1}；
当a＜0时，不等式化为（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＜0，且$\frac{1}{a}$＜1，
解集为{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}．

点评 本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的数学思想，是综合题目．