Question

9．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1≤0}\\{2x+y+5≥0}\\{x-y+1≥0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$的取值范围是[-1，$\frac{1}{7}$]．

Answer 1

分析 由题意作平面区域，分类讨论当x≠-1时，化简z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$=$\frac{1}{1+2\frac{y-2}{x+1}}$，从而利用几何意义求解．

解答 解：由题意作平面区域如下，
当x=-1时，z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$=0；
当x≠-1时，z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$=$\frac{1}{1+2\frac{y-2}{x+1}}$，
易知A（-1，2），B（-2，-1），C（0，1）；
故k_AB=$\frac{2+1}{-1+2}$=3，k_AC=$\frac{2-1}{-1-0}$=-1，
故$\frac{y-2}{x+1}$≥3或$\frac{y-2}{x+1}$≤-1，
故1+2$\frac{y-2}{x+1}$≥7或1+2$\frac{y-2}{x+1}$≤-1；
故0＜$\frac{1}{1+2\frac{y-2}{x+1}}$≤$\frac{1}{7}$或-1≤$\frac{1}{1+2\frac{y-2}{x+1}}$＜0；
综上所述，-1≤$\frac{1}{1+2\frac{y-2}{x+1}}$≤$\frac{1}{7}$．
故答案为：[-1，$\frac{1}{7}$]．

点评 本题考查了线性规划，同时考查了数形结合的思想方法应用及分类讨论的思想应用．