Question

11．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1，设b_n=2（log₂a_n+1），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n•a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，易得a₁=1；当n≥2时，解得a_n=2a_n-1即a_n=2a_n-1（n≥2），且a₁=1，从而{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列；
（2）根据对数的性质，得到b_n=2n，即b_n•a_n=n•2ⁿ，利用错位相减法即可取出前n项和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=2a₁-1，a₁=1，
当n≥2时，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1；
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1，
（2）b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n，
∴b_n•a_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-2ⁿ⁺¹+1+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2

点评 本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．