Question

4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=$\frac{π}{4}$，AC=$\frac{7}{2}$，cos∠ADB=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$
（1）求sin∠C的值；
（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由∠C=∠ADB-$\frac{π}{4}$．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．
（2）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式求得BD，与余弦定理即可得解AB的长度．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADB=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，则sin∠ADB=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∠CAD=$\frac{π}{4}$，则∠C=∠ADB-$\frac{π}{4}$，
sin∠C=sin（∠ADB-$\frac{π}{4}$）=sin∠ADB•cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{4}$cos∠ADB=$\frac{7\sqrt{2}}{10}•$$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{10}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{5}$，
（2）在三角形△ACD中，$\frac{AD}{sin∠C}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，
AD=$\frac{ACsin∠C}{sin∠ADC}$=$\frac{\frac{7}{2}•\frac{4}{5}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$AD•BD•sin∠ADB=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$BD$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=7，
∴BD=5，
由余弦定理可知：AB²=BD²+AD²-2BD•AD•cos∠ADB，
∴AB=$\sqrt{37}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．