Question

15．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，-$\sqrt{3}$cosx），设函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由向量的坐标表示求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，求得f（x）的解析式，即可求得最小正周期；
（2）根据三角函数图象变换，求得g（x）的解析式，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]的值域．

解答 解：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sinx•sinx+cosx•（-$\sqrt{3}$cosx），
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\sqrt{3}$cos2x，
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
函数f（x）的最小正周期T，T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度得：
g（x）=sin（2x-$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=sin（2x-π）=-sin2x，
x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴由正弦函数图象可知：g（x）的值域为：[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
∴g（x）的值域为：[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查向量的坐标表示、三角恒等变换及求正弦函数的值域，属于中档题．