Question

20．已知函数f（x）=-x³+3x．
（1）①求证：函数f（x）在区间（-1，1]上是单调增函数；
②当a在何范围内取值时，关于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解？
（2）用二分法求方程f（x）=1在区间（-1，1）上的近似解．（精确到0.1）

Answer 1

分析 （1）①通过求导数，根据导数符号便可证明函数f（x）在区间（-1，1]上是单调增函数；
②根据f（x）在（-1，1]上的单调性便可求出f（x）在（-1，1]上的值域，从而得出a的取值范围；
（2）可由方程f（x）=1得到方程f（x）-1=0，可设g（x）=f（x）-1，这样根据二分法求函数零点近似值的过程即可求出函数g（x）的零点的近似值，从而得出方程g（x）=0的近似解．

解答 解：（1）①证明：f′（x）=3（1-x²）；
∵x∈（-1，1]；
∴1-x²≥0；
∴f′（x）≥0；
∴f（x）在（-1，1]上是单调增函数；
②∵f（x）在（-1，1]上单调递增；
∴f（-1）＜f（x）≤f（1）；
即-2＜f（x）≤2；
∴-2＜a≤2；
∴a的取值范围为（-2，2]；
（2）由f（x）=1得，f（x）-1=0；
设g（x）=f（x）-1，且g（0）=-1，g（1）=1，g（0）g（1）＜0；
∴g（x）在（0，1）内有零点x₀；
取区间（0，1）的中点x₁=0.5，g（0.5）≈0.38，g（0）g（0.5）＜0；
∴x₀∈（0，0.5）；
再取区间（0，0.5）的中点x₂=0.25，g（0.25）≈-0.27，g（0.25）g（0.5）＜0；
∴x₀∈（0.25，0.5）；
同理可得，x₀∈（0.25，0.3725），x₀∈（0.31125，0.3725）；
∵|0.31125-0.3725|=0.06125＜0.1；
∴原方程的近似解可取为0.3725．

点评 考查根据函数导数符号证明函数单调性的方法，以及根据函数单调性求函数值域的方法，知道方程f（x）=a有解的充要条件：a的取值范围和函数f（x）的值域相同，以及二分法求方程近似解的方法和过程．