Question

8．在△ABC中，BC边上的高为$\frac{\sqrt{3}}{6}$BC，则$\frac{sinC}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinC}$的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意，$\frac{sinC}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$．利用△ABC中，BC边上的高为$\frac{\sqrt{3}}{6}$BC，结合三角形的面积公式、余弦定理，即可得出结论．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{sinC}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$．
∵$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}•a•\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
∴bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（b²+c²-2bccosA），
∴（$\frac{b}{c}$）²-4sin（A+30°）•$\frac{b}{c}$+1=0，
∴4sin（A+30°）=$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$，
∴$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$的最大值为4，
∴$\frac{sinC}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinC}$的最大值为4．
故选：A．

点评 本题考查正弦定理、三角形的面积公式、余弦定理等知识点，考查学生的计算能力，知识综合性强．