Question

17．已知当x∈（-$\frac{π}{6}$，π）时，不等式cos2x-2asinx+6a-1＞0恒成立，则实数a的取值范围是a＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用二倍角公式把题设不等式转化为关于sinx的一元二次不等式，求得sinx的范围，利用x的范围可求得sinx的范围，进而根据不等式恒成立推断出

解答 解：cos2x-2asinx+6a-1＞0，
∴1-2sin²x-2asinx+6a-1＞0，
∴sin²x+asinx-3a＜0，
设x∈（-$\frac{π}{6}$，π）时，sinx∈（-$\frac{1}{2}$，1），∴t∈（-$\frac{1}{2}$，1），
t²+at-3a＜0，
由二次函数性质，对称轴x=-a，
当-a＜-$\frac{1}{2}$，即a＞$\frac{1}{2}$，最大值为t=1，即1+a-3a＜0，
∴a＞$\frac{1}{2}$，
当-$\frac{1}{2}$＜-a＜1，及-1＜a＜$\frac{1}{2}$，
无解，
当-a＞1，a＜-1时，
无解；
∴综上可知：a＞$\frac{1}{2}$．
故答案为：a＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数的最值．考查了三角函数与不等式的综合．