Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，对于任意n∈N^*都有S_n+1-3S_n-1=0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若（b_n-n）•a_n=n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由对于任意n∈N^*都有S_n+1-3S_n-1=0，变形为S_n+1$+\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），利用等比数列的通项公式可得S_n，再利用递推关系即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵对于任意n∈N^*都有S_n+1-3S_n-1=0，∴S_n+1$+\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），
∴数列$\{{S}_{n}+\frac{1}{2}\}$是等比数列，首项为$\frac{3}{2}$，公比为3．
∴S_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$，
∴S_n=$\frac{1}{2}×{3}^{n}$-$\frac{1}{2}$．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}×{3}^{n}$-$\frac{1}{2}$-$（\frac{1}{2}×{3}^{n-1}-\frac{1}{2}）$=3^n-1．
当n=1时也成立，
∴a_n=3^n-1．
（2）∵（b_n-n）•a_n=n，∴b_n=n+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．
设数列$\{\frac{n}{{3}^{n-1}}\}$的前n项和为A_n，
则A_n=1+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{A}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{A}_{n}$=$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n}}$，
∴A_n=$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．